quinta-feira, 4 de agosto de 2016

O conjunto não enumerável dos numeros Reais

Um fato bastante importante sobre o conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais, que eu quando imaturo ignorava, é a propriedade de que os números reais são não-enumeráveis. Falando de modo simples, a enumerabilidade de um conjunto define se ele pode ou não ser contado, é natural que conjuntos finitos são conjuntos enumeráveis. Os casos mais interessantes são conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais e o conjunto $\mathbb{Z}$ dos números inteiros são conjunto enumeráveis. 

Definição 1. Um conjunto $X$ é dito enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção $f:\mathbb{N}\rightarrow X$. 

Neste caso, $f$ chama-se uma enumeração dos elementos de $X$. Escrevendo $f(1)=x_{1}, f(2)=x_{2}, ..., f(n)=x_{n}, ...$ , temos $X=\{x_{1}, x_{2}, x_{2}, ..., x_{n}\}$.

Então, como nos exemplos citados anteriormente, obviamente podemos encontrar uma bijeção $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$. Para os números inteiros podemos encontrar uma função bijetiva que faz corresponder números naturais impares aos inteiros positivos e números pares que faz corresponder à números inteiros negativos, ou seja, $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2,...$.

O conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais também é enumerável, mas a demonstração desse fato tem conteúdo para outra postagem.

Um teorema que precisamos para mostrar que $\mathbb{R}$ é um conjunto não enumerável é o teorema dos intervalos encaixados, que afirma que dentro de toda sequencia decrescente de intervalos, por menor que seja, contida nos reais existe um numero $c\in\mathbb{R}$.

Teorema 2. (Intervalos encaixados.) Dada uma sequência decrescente $I_{1}\supset I_{2}\supset ... \supset I_{n}\supset ...$ de intervalos limitados e fechados $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$, existe pelo menos um numero real $c$ tal que $c\in I_{n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Demonstração: As inclusões a cima nos dizem que $$a_{1}\leq a_{2}\leq...\leq a_{n}\leq ... \leq b_{n}\leq ... \leq b_{2}\leq b_{1}.$$ Tome $A={a_{1},...,a_{n},...}$.  Então $A$ é limitado superiormente. Seja $c=SupA$. Temos então que $a_{n}\leq c$ $\forall n\in\mathbb{N}$. Alem disso, temos que cada $b_{n}$ é cota superior de $A,$ logo $c\leq b_{n}$ $\forall n\in\mathbb{N}$. Portanto $c\in I_{n}$ para qualquer que seja $n\in\mathbb{N}$. $\Box$


Enfim, vamos mostrar que os números reais não é enumerável como um teorema.

Teorema 3. O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração: Para mostrar essa proposição basta encontrarmos uma função $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ que não não seja sobrejetiva, assim estaremos mostrando que essa função não pode ser bijetora. Seja uma função $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$. Tome para $n=1$ um intervalo $[a_{1},b_{1}]\subset\mathbb{R}$ tal que $f(1)\notin[a_{1},b_{1}]$. Para $n=2$ um intervalo $[a_{2},b_{2}]\subset[a_{1},b_{1}]\subset\mathbb{R}$ tal que $f(2)\notin[a_{2},b_{2}]$. Fazendo isso sucessivamente, teremos para todo $n$ que $$f(n) \notin [a_{n},b_{n}]\subset ... \subset[a_{2},b_{2}]\subset[a_{1},b_{1}]\subset\mathbb{R}.$$ Agora, pelo teorema dos intervalos encaixados sabemos que existe um $c\in\mathbb{R}$ tal que $c\in [a_{n},b_{n}]$. Daí, não existe $f(n)=c$ para nenhum $n\in\mathbb{N}$. Logo, $f$ é sobrejetiva e portanto $\mathbb{R}$ é não-enumeravel.$\Box$

Entender essa demonstração é de fundamental importância para o estudante perceber uma de muitas maneiras de se encontra uma função desejada em certas condições além de trabalhar sua noção sobre funções. Escrever uma função $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ que ajude a analisar sua sobrejetividade não é trabalho fácil. Exige algum tempo para pensar nos passos para sua construção. E tempo pensando é o que mais ajuda na maturidade de um estudante de ciência.

Livros Recomendados
-LIMA, Elon Lages. Analise Real-vol 1,(12a Edição). Coleção Matemática Universitaria, IMPA, 2014.
-LIMA, Elon Lages. Curso de Analise, Volume 1 (decima primeira edicao).Projeto Euclides. IMPA, 2004.
-FIGUEIREDO, DG de. Análise I. SP. Editora GUANABARA, 1996.


Apresentações

Eu me chamo Gauss. Meu pai é professor de matemática então, eis aí o nome que me fez ser vítima de apelidos engraçados no fundamental (risos). Eu nunca fui um aluno excelente na escola, mas em matemática eu mandava bem.  Advinha pra qual curso prestei meu primeiro vestibular. Se você pensou matemática, você errou. Entrei no curso de licenciatura em matematica em 2012 na UFERSA -Universidade Federal Rural do Semiárido, que era a unica coisa que eu entendia na escola. Daí, terminei o curso orientado pelo grande Professor Doutor e amigo Ronaldo Garcia, que sou grato pela força e pelos ensinamentos, e agora estou cursando mestrado em matemática na UFC-Universidade Federal do Ceará.
Esse blog é puramente um meio de transmitir conhecimento para mim mesmo. Mas como assim? O vejo como uma forma de guardar o que vou fazer em minhas anotações. Quem quiser, pode usa-lo para aprender, tirar duvidas ou vir até mim com questionamentos que poderei ajudar a solucionar.
A principio esse meio é para escrever sobre matemática: exemplos, exercícios e outras formas de explora-la. Mas também poderei usar essa ferramenta (o blog) para escrever sobre outras coisas, Quem sabe.
Em algum lugar vai está meu e-mail, então estarei aceitando sugestões e pedidos. Então é isso. Até proximo post